نظرية فيثاغورس
"في مثلث قائم الزاوية، مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين المحاذيين للزاوية القائمة."
تفسير نظرية فيثاغورس
مبرهنة فيثاغورس وتُعرف شهرة باسم نظرية فيثاغورس هي علاقة أساسية في الهندسة بين أضلاع المثلث قائم الزّاوية. تنص على أن مجموع مربعي طولي ضلعي الزاوية القائمة مساوٍ لمربع طول الوتر.
وتمكن نظرية فيثاغورس من حساب طول أحد أضلاع مثلث قائم الزاوية وذلك بمعرفة طولي الضلعين الآخرين.
مثلا في مثلث ABC، إذا كان هذا المثلث قائم الزاوية في C
فيكون: AC²+BC²=AB²
نظرية فيثاغورس العكسية
"في مثلث، إذا كان مربع طول أطول ضلع يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين، فإن هذا المثلث قائم الزاوية. الزاوية القائمة هي الزاوية المقابلة لأطول ضلع، والضلع الأطول هو الوتر."
نظرية فيثاغورس هي خاصية مميزة للمثلث القائم الزاوية. بتعبير آخر:
في مثلث ABC، إذا كان AC²+BC²=AB²
فيكون هذا المثلث قائم الزاوية في C
إثبات نظرية فيثاغورس
يُمكن إثبات نظرية فيثاغورس بعدد لا نهائي من البراهين، وقد نشر عالم الرياضيات إليشا سكوت لوميس كتابه "فرضيّة فيثاغورس" عام 1927م، وقدّم فيه 370 برهاناً مختلفاً للنظريّة، صُنّفت في أربعة أقسام رئيسة هي: قسم الجبر الذي يربط جوانب المثلث، وقسم الهندسة الذي يقارن بين المساحات، وقسم الحركية أو الديناميكيّة الذي يرتبط بخصائص القوة والكتلة، وأخيراً المتجهات.
ويُمكن إثبات نظريّة فيثاغورس هندسياّ كما يأتي:
افتراض أن هناك مربعاً تقع النقاط (د، هـ، و، ي) على أضلاعه الأربعة، بحيث تقسم كل نقطة منها الضلع إلى قسمين طول أحدهما هو: أ، والقسم الثاني هو: ب، ثم تم الوصل بين هذه النقاط بخطوط مستقيمة ليتكوّن مربع داخلي طول ضلعه هو (جـ)، وأربعة مثلثات داخلية قائمة الزاوية وترها هو (جـ)، وطول ضلعيها الآخرين هما: (أ، ب)، لينتج أن طول الضلع للمربع الخارجي هو (أ+ب). التعبير عن مساحة المربع الخارجي بالقيمة: (أ+ب) ²، وهي تساوي مساحة المثلثات الأربع الداخلية: 4× (½× طول القاعدة× الارتفاع) = 4/2×أ×ب=2أب، إضافةً إلى مساحة المربع الداخلي: جـ²، وبالتالي ينتج أن مساحة المربع الخارجي بالرموز هي: (أ+ب) ²= 2أب+ ج²، وبفك التربيع ينتج: أ²+2أب +ب²= 2أب+ ج²، ثمّ بترتيب طرفي المعادلة ينتج أن: أ²+ب²= 2أب+ ج²-2أب، ثم بإختصار الحدود ينتج أن: أ² + ب² = ج²، وبما أن ج هو الوتر، ينتج أن مربع الوتر يساوي مجموع مربعي الضلعين وهذا ما نصّت عليه نظرية فيثاغورس.
وتوجد العديد من البراهين على صحة هذه النظرية أيضا مثل برهان إقليدس، وبرهان الصينيين، مرورا ببرهان الهنود، وبرهان دا فينشي وحتى برهان الرئيس الأمريكي جيمس جارفيلد.
